بررسی مفهوم حد و پیوستگی توابع
چکیده مقاله
حد و پیوستگی توابع از مباحث پایه ریاضیات و پیشنیاز یادگیری مباحثی مانند مشتق، انتگرال و … است؛ و همچنین ازجمله مباحثی است که در حل مسائل فیزیک نیز کاربرد دارد. در این مقاله به بررسی مفهوم حد و پیوستگی توابع بهطور جامع میپردازیم.
فهرست مطالب این مقاله
در ابتدا برای درک مبحث حد و پیوستگی توابع موضوع همسایگی را بررسی میکنیم:
همسایگی a: هر بازه باز عددی که a عضوی از آن بازه باشد همسایگی a گویند؛ مثلاً بازه (-15,9) همسایگی عدد 2 است؛ زیرا که عدد 2 عضوی از این بازه است.
همسایگی راست a: بازه (a,b) را همسایگی راست a گویند و باa^+ (میخوانیم a مثبت) نشان میدهند بهطور مثال بازه (2,9) همسایگی راست 2 است. (اگر این بازه عددی خیلی کوچک باشد همسایگی نزدیک راست میگویند)
همسایگی چپ a: بازه (c,a) را همسایگی چپ a گویند و باa^- (میخوانیم a منفی) نشان میدهند بهطور مثال بازه (-15,2) همسایگی چپ 2 است. (اگر این بازه عددی خیلی کوچک باشد همسایگی نزدیک چپ میگویند.)
مثال: در شکل زیر بازه (-2,1) همسایگی نقطه x=0 است، همچنین بازه (0,2) همسایگی راست و بازه (-2,0) همسایگی چپ این نقطه هستند.
همسایگی محذوف:
اگر یک بازه عددی از اعداد حقیقی داشته باشیم یک عضو از آن را حذف کنیم باقیمانده را همسایگی محذوف آن عضو مینامند. بهطور مثال اگر عدد 3 را از بازه (-8,15) حذف کنیم، باقیمانده آن مجموعه {3}(-8,15) میشود، به آن همسایگی محذوف 3 میگویند.
مثال: در شکل روبهرو بازه {x}-(a,b)همسایگی محذوف عددx است.
در ادامه مبحث حد و پیوستگی توابع سراغ موضوع حد میرویم. این موضوع را با یک مثال شروع میکنیم؛ فرض بگیرید یک شیء مستطیل شکل داریم که طول آن 5 سانتیمتر ثابت ولی عرض آن بین اعداد 0.5 تا 1.5 سانتیمتر متغیر است مساحت این شیء با عرضهای مختلف به شکل زیراست:
برای دسترسی به آموزش حد و پیوستگی، ویژه امتحان نهایی و کنکور برروی تصویر کلیک کنید
با توجه به ثابت بودن طول میتوان مساحت شیء را بهصورت یک تابع f(x)= 5x = مساحت (که x عرض شیء است) نوشت. وقتی از مقادیر بیشتر از 1 (1^+) به عدد 1 نزدیک میشویم میبینیم که مقدار تابع به 5 نزدیک میشود به عدد 5 حد تابع راست تابع گویند. (به بیان ریاضیlimt( f(x)=5) ← میخوانیم حد راست f(x) وقتی تابع به سمت یک میل میکند میشود 5).
همچنین وقتی از مقادیر کمتر از 1 (1^-) به عدد 1 نزدیک میشویم میبینیم که مقدار تابع مجدد به عدد 5 نزدیک میشود؛ پس حد چپ تابع نیز 5 میشود (به بیان ریاضیlimt( f(x)=5) ← میخوانیم حد چپ تابع f(x) وقتی به سمت 1 میل میکند میشود 5).
با توجه به اینکه حد چپ و راست تابع برابر است پس حد تابع وقتی به سمت 1 میل میکند میشود 5. (یا به بیان ریاضیlimt( f(x)=5) ← میخوانیم حد f(x) وقتی به سمت 1 میل میکند میشود5)
اگر حد چپ و راست تابع f(x) در نقطه x=a برابر نباشد میگوییم تابع در این نقطه حد ندارد.
گاهی ممکن است تابع در یک نقطه همسایگی چپ یا راست نداشته باشد، یعنی تابع فاقد دامنه در همسایگی چپ یا راست آن نقطه باشد، در چنین مواردی تابع فقط حد راست یا چپ دارد. (مثال: تابع√x در نقطه x=0 فقط حد راست دارد. (چون اعداد منفی نمیتوانند در زیر رادیکال قرار بگیرند پس نقطه صفر همسایگی چپ ندارد و حد چپ نیز ندارد.)
اکنون برای درک بهتر موضوع چند مثال را باهم بررسی میکنیم:
مثال 1: بررسی حد تابع در نقطه x=3
با بررسی رفتار تابع در همسایگی راست نقطه x=3 میبینیم که مقدار تابع به عدد 2 نزدیک میشود؛ درنتیجه حد راست تابع 2 است. lim(f(x)=2 ) و وقتی رفتار تابع در سمت چپ x=3 بررسی میکنیم میبینیم با نزدیک شدن تابع به نقطه x=3 مقدار تابع به سمت 6 میل میکند؛
پس حد چپ تابع در نقطه x=3 برابر 6 است lim(f(x)=6 ) با توجه به اینکه حد چپ و راست باهم نقطه x=3 باهم برابر نیست پس تابع در این نقطه حد ندارد.
مثال 2: بررسی حد تابع در نقطه x=2
وقتی در همسایگی راست عدد x=2 به این عدد نزدیک میشویم میبینیم که مقدار تابع به سمت صفر میل میکند یعنی حد راست تابع صفر است (limf(x)=0)؛ وقتی در همسایگی چپ x=2 به این نقطه نزدیک میشویم مقدار تابع به سمت 3 میل میکند، یعنی حد چپ تابع برابر 3 است (limf(x)=3). با توجه به اینکه حد چپ و راست تابع برابر نیست تابع در نقطه x=2 حد ندارد.
مثال 3: بررسی حد تابع در نقطه x=1
وقتی در همسایگی راست نقطه x=1 (1^+) به این نقطه نزدیک میشویم مقدار تابع به سمت 2 میل میکند یعنی حد راست تابع در این نقطه 2 است و وقتی در همسایگی چپ نقطه x=1 (1^-) به این نقطه نزدیک میشویم مقدار تابع مجدد به سمت 2 میل میکند؛
یعنی حد چپ تابع در این نقطه نیز 2 است؛ با توجه به اینکه حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر است پس حد تابع در این نقطه میشود 2. (limf(x)=2)
در انتهای مبحث حد و پیوستگی توابع، مبحث پیوستگی را بررسی میکنیم:
وقتی صحبت از پیوسته بودن تابع در یک نقطه میشود یعنی میتوان نمودار تابع در آن نقطه را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد؛ ازنظر ریاضی برای اینکه تابع f(x) در نقطه x=a پیوسته باشد دو شرط وجود دارد:
شرط اول اینکه تابع در این نقطه حد داشته باشد یعنی حد چپ و راست تابع در نقطه x=a برابر باشد lim f(x)=lim( f(x)))؛
شرط دوم اینکه حد تابع وقتی به سمت x=a میل میکند با مقدار f(a) برابر باشد.
lim f(x)=f(a)
برای درک بهتر موضوع پیوستگی تابع چند مثال را بررسی میکنیم:
مثال 1: بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=-2 (ابتدا بررسی میکنیم ببینیم که آیا تابع در نقطه X=-2 حد دارد یا خیر. در همسایگی راست نقطه x=-2، وقتی به این نقطه نزدیک میشویم تابع به سمت صفر میل میکند، پس حد راست تابع در این نقطه صفر است (lim( f(x)=0)). وقتی در همسایگی چپ نقطه x=-2 به این نقطه نزدیک میشویم مقدار تابع به سمت 1- میل میکند پس حد چپ تابع در نقطه برابر 1- است.
(lim( f(x)=-1))) چون حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر نیست پس تابع در این نقطه حد ندارد و شرط اول پیوسته بودن تابع برقرار نیست، پس تابع در نقطه x=-2 پیوسته نیست.
مثال 2: بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=1
ابتدا بررسی میکنیم که آیا تابع در نقطه x=2 حد دارد یا خیر. در همسایگی راست نقطه x=1 وقتی به سمت این نقطه نزدیک میشویم مقدار تابع به سمت 2 میل میکند. (lim(f(x)=2)) و در همسایگی چپ وقتی به این نقطه نزدیک میشویم مقدار تابع به سمت 2 میکند (lim( f(x)=2))؛ یعنی حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر است؛
پس حد تابع وقتی به سمت 1 میل میکند برابر 2 است. (limf(x)=1) پس شرط اول پیوستگی در این حد داشتن تابع در این نقطه برقرار است. اما سراغ شرط دوم میرویم؛ مقدار تابع در نقطه x=1 برابر 2 است و با توجه به اینکه حد تابع وقتی x به سمت 1 میل میکند برابر 2 است. یعنی (limf(x)=f(1)=2) پس شرط دوم نیز برقرار است و تابع در نقطه x=2 پیوسته است.
منابع
جمعبندی نکتههای حد و پیوستگی-درس ریاضی
جمع بندی
حد و پیوستگی توابع از مباحث پایهای ریاضی است و درک مفهوم آن به یادگیری بسیاری از مباحث ریاضی کمک میکند. منظور از حد تابع در نقطه x=a بررسی رفتار تابع پیرامون این نقطه است یعنی بررسی میکنیم که وقتی روی محور x ها به این نقطه از سمت چپ و راست نزدیک میشویم مقدار تابع (نمودار Y) به سمت چه عددی میل میکند.
(وقتی از سمت راست به x=a نزدیک میشویم عددی که مقدار تابع (نمودار Y) به سمت آن میل میکند حد راست و وقتی از سمت چپ به x=a نزدیک میشویم عددی که مقدار تابع (نمودار Y) به سمت آن میل میکند حد چپ تابع خواهد بود.) درصورتیکه حد چپ و راست در نقطه x=a برابر باشد؛ میگوییم تابع در آن نقطه حد دارد؛ در غیر این صورت تابع در آن نقطه فاقد حد خواهد بود.
آخرین مبحث از موضوع حد و پیوستگی توابع، مفهوم پیوستگی توابع است؛ زمانی ما میتوانیم تابع f(x) را در نقطه x=a پیوسته بدانیم، اول اینکه تابع در این نقطه حد داشته باشد یعنی حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر باشد lim f(x)= lim f(x)؛ و دوم اینکه مقدار تابع در این نقطه با حد تابع برابر باشد lim f(x)= f(a)
آکادمی نیک درس امیدوار است که بتواند گامی کوچک در کمک به شما عزیزان برای به دست آوردن مهارت در حرفههای مختلف داشته باشد.
قدر تکتک لحظهها را بدانید و شادباشید.
- همه دوره ها
- دانشگاهی
آموزش ماشین های الکتریکی 1
آموزش ریاضی عمومی 2
آموزش نرم افزار پاورپوینت (Power Point)
آموزش مکانیک سیالات 1
آموزش طراحی سه بعدی با نرم افزار اتوکد (AutoCAD 3D)
آموزش کنترل پروژه با مایکروسافت پروجکت (MSP) – پیشرفته
معرفی ویژگیهای محیط اسکچ در نرم افزار اینونتور
در نرم افزار اینونتور(Autodesk Inventor)، تفاوتهای بین محیطهای اسکچ دو بعدی و اسکچ سه بعدی
استاتیک و نیروها
مطالب زیر را حتما مطالعه کنید
15 نکته درباره طنز
گزارشگر و 15 نکته درباره اصول و فنون گزارشگری
کنکور و نکات طلایی موفقیت در آن
15 نکته درباره مدیریت فرآیند با رویکرد BPM
15 نکته درباره مدلهای ارزیابی سیستم
15 نکته درباره مرجعشناسی
2 دیدگاه
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.
خوب نبود
با سلام و احترام
با تشکر از نظر شما.
لطفا هر بخشی که به نظر شما دارای ایراد می باشد را ارسال کنید تا همکاران پس از بررسی در صورت صحیح بودن مطالب مطرح شده، اقدام به اصلاح مقاله مربوطه نمایند.